《洪範皇极内篇》继承了象数学的传统，提出：“天地之所以肇者数也，人物之所以生者数也，万物之所以失得者数也。”认为“数是宇宙的根本。人对“数”的认识是区分“圣”“愚”的标準，“圣者数之通也”“愚者数之塞也。”同时还认为“数”的产生与人的作用相关联的。“数由人兴，数由人成、万物皆备于我，鹹自取之也”，所以“圣人因理以着数，天下因数以明理”。

蔡沈所说的数是指“洪範九畴数”《尚书·洪範》有九畴，分别是“五行、五事、八政、五纪、皇极、三德、稽疑、庶征、五福”等，每一畴各有其具体内容，是古人对自然界及社会现象的朴素概括。朱熹认为“河图出而八卦画，洛书呈而九畴叙”（《朱文公文集》卷七十八）。也就是说，河图产生八卦，而洛书则产生九畴。邵雍根据八卦进行推演，作了六十四卦横图与先天圆图、先天方图。蔡沈在其父的基础上则把洪範九畴发展成九九八十一个畴数，构成了一个基本体系。他把洛书称作《洪範皇极图》，取《洪範》“皇建其有极”一语，书名盖亦源于此；并作九九方阵图（把一一到一九排成一行，一直到把九一到九九排成第九行，八十一个数形成一个方阵）、九九圆数图（把一一到九九八十一个数序排成一个圆圈）、九九行数图（从一一到九九八十一个数字排列成一长行）、九九积数图（把一到九的九个数字分别用九依次相乘三遍的积数排列成图）。

《洪範皇极内篇》把九九八十一个数字配合时令，一一为冬至，二二为立春，三三为春分，四四为立夏，五五为夏至，六六为立秋，七七为秋分，八八为立冬，九九又为冬至。周而复始，二二又是立春。

蔡沈认为“一者数之原也，九者数之究也，所以，他把一切事物都归结为一到九的数字。他说：“分天为九野，别地为九州，制人为九行。九品任宫，九井均田，九族睦俗，九礼辨分，九变成乐，九阵制兵，九刑禁奸，九寸为律……”这些都显得颇为牵强、神秘。

九九八十一个範畴都被命以名字（即原、潜、守、信……一直到移、堕、终等八十一个畴），并模仿《易经》的筮法进行占卜，“分三挂一，揲之以三”。由此而得出九种徵兆：吉、咎、祥、吝、平、悔、灾、休、凶。

《洪範皇极内篇》试图把象数学纳人理学的範围之内。在宇宙观上与北宋理学家都是一致的。蔡沈说：“沖漠无朕，万物具矣。动静无端，后则先矣，器根于道，道着器矣。一实万分。万复一矣。”同时认为理和数实际上是一致的。他说：“圣人周理以着数，天下因数以明理。”

在历代官方看来，蔡沈的《洪範皇极内篇》偏离了正统的学问，“非说经之正轨，儒者之本务也”（《四库全书总目提要》卷一〇八），只是曆法一类术数而已。

蔡沈(1167—1230)，学茬，字仲默，建阳（今属福建）人。隐居九峰，人称九峰先生。一生未应举，师从朱熹及父亲蔡元定。

《永乐大典》及《性理大全》皆作《洪範内篇》，惟熊宗立注本以论三篇为内篇，数八十一章为外篇。考是书数八十一章拟《易》六十四卦，当为内篇。论三篇拟《易》繫辞说卦等传，当为外篇。今各本皆以论三篇列于前，而八十一章列于后，伦序颇为不协。疑《性理大全》与《永乐大典》同时纂辑，所据同一误本，未及详考欤。明余深着《洪範畴解》，曹溶称为释蔡氏内篇，畴即八十一章之数也。程宗舜作《洪範内篇释》，其自序曰，释八十一数亦不指三篇之论。韩邦奇《引论中象》以偶为用数语，作《洪範传》，传以别于经，即外篇矣。意其时必有流传善本，与永乐间书局所据不同，故诸家之言如此，其讹似无可疑。然余深等所据之本今不复见，未敢轻改古书，姑仍其旧第编之。又考王应麟《玉海》载此书名《洪範数》。王圻《续通考》作《洪範皇极内外篇》。朱彝尊《经义考》作《洪範内外篇》。今详考其书，当以《续通考》所名为是。《续通考》不载卷数，《经义考》作七卷，今以类相从，编为五卷。考《洛书》之名见于《易》，不见于《书》。《洪範》之文以明理，非以明数。其事绝不相谋。