複数的概念来源于义大利数学家Gerolamo Cardano，16世纪，在他试图在找到立方方程的通解时，定义i为“虚构”（fictitious）。

对于複数z=x+iy，满足等式 ,其中x，y是任意实数，x称为複数z的实部，y称为複数z的虚部。複数是普通实数的栏位扩展，以便解决不能用实数单独解决的问题。

複数通过使用表示实部的水平轴和表示虚部的垂直轴将一维数字线的概念扩展到二维複平面。 可以用複平面中的点（a，b）来标识複数a + bi。

设複数为x+iy，则定义：

纯虚数：实数部分为零的複数被认为是纯虚数，即x=0。

实数：虚数部分为零的複数是实数，即y=0。

複数z=x+iy，其中x，y是任意实数，x称为複数z的实部，y称为複数z的虚部。（注意虚部不包括虚数单位i）

在英文中，实数是 Real Quantity，所以一般取 Real 的前两个字母 “Re” 表示一个複数的实部；虚数是 Imaginary Quantity，所以，一般取 Imaginary 的前两个字母 “Im” 表示一个複数的虚部。例如：

Re(2+3i)=2， Im(2+3i)=3；

Re(-7.38i)=0， Im(-7.38i)=-7.38。

複平面当中的点（x,y）来表示複数x+iy，其中y轴为虚轴，y的值即为虚部。

定义複数的实部与虚部，有三个作用：

第一，规定两个複数相等。

我们规定，若且唯若两个複数的实部与虚部分别相等时，这两个複数就相等。

再从向量的角度来看，由于a₁=a₂，b₁=b₂，所以複数a₁+b₁i与複数a₂+b₂i所表示的两个向量的模相同，且这两个向量的方向相同。

逻辑语言描述：

第二，定义共轭複数。

当两个複数的实部相等，虚部互为相反数时，把这两个複数叫做互为共轭複数。

複数 a+bi 与 a-bi 互为共轭複数。

a+bi乘以a-bi就等于a²+b²。

第三，定义複数的模

複数的模定义为

利用勾股定理，可以在複平面内求得表示该複数的点到原点的距离

第四，定义複数的辐角主值