根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 =a－bi（a,b∈R)。共轭複数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个複数：x+yi与x-yi称为共轭複数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在複平面上，表示两个共轭複数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横樑，这横樑就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那幺在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。

共轭複数有些有趣的性质：

另外还有一些四则运算性质。

（1）|z|=||；

（2）z+=2a（实数），z－=2bi；

（3）z· =|z|²=a²+b²（实数）。

複数的加法法则：设z₁=a+bi,z₂=c+di是任意两个複数。两者和的实部是原来两个複数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个複数的和依然是複数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

两个複数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）

即：z₁-z₂=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

複数的乘法法则：把两个複数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i² = -1，把实部与虚部分别合併。两个複数的积仍然是一个複数。

即：z₁z₂=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac－bd)+(bc+ad)i.

複数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的複数x+yi(x,y∈R）叫複数a+bi除以複数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭複数，再用乘法法则运算。

即：

若zⁿ=r(cosθ+isinθ），则 （k=0，1，2，3……n-1）

z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy

即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x²-xyi+xyi-y²i²=x²+y²

即，当一个複数乘以他的共轭数，结果是实数。

z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。

（1）

（2）

（3）

（4） (z₂≠0)

总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。

① | z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|

②┃| z₁|－| z₂|┃≤| z₁+z₂|≤| z₁|+| z₂|

③| z₁－z₂| = | z₁z₂|，是複平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出複平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线

表示複数z的共轭複数，表示複数z的共轭複数的共轭複数，即=z。