随着计算机的广泛使用与科学技术的迅速发展，科学计算已成为科学研究、工程设计中的一个重要的手段，它已成为与理论分析、科学试验并驾齐驱的科学研究方法。掌握和套用科学计算的基本方法或数值计算方法，已不再仅仅是数学专业的学生和专门从事科学与工程计算工作的科研人员的必备知识，大量从事力学、物理学、航空航天、信息传输、能源开发、土木工程、机械设计、医药卫生及社会科学领域的科研人员和工程技术人员，也将数值计算方法作为各自领域研究的一种重要研究工具.因此，“数值计算方法”已逐渐成为理工科大学本科生和硕士研究生的必修课程.
本教材根据国家教委关于“数值计算方法”课程的基本要求，介绍计算机上常用的数值计算方法，不仅充实完善了线性代数方程组直接法和叠代法、非线性方程与方程组求根、函式的插值与逼近、数值微积分和微分方程数值解等内容，而且还增加了数值求解偏微分方程的有限差分法和有限元法.全书深入浅出，层次分明，部分理论证明和全书内容独立，便于根据工科研究生32学时、48学时等不同需求进行取材和教学，也适合数学系高年级本科生64学时、72学时使用.该书在内容安排上，既注重理论的严谨性，又注重方法的实用性.每章配备了大量的例题与数值计算套用实例，并配有丰富的习题，以帮助读者巩固和加深理解有关内容.
本教材适合理工科大学硕士研究生“数值计算”或者“数值分析”课程及数学系高年级本科生 “计算方法”课程使用，也可供相关科技人员学习参考.
本书编写得到哈尔滨工程大学研究生院大力支持，在此表示衷心的感谢．希望使用本书的广大读者和教师，对本书缺点和不足之处提出批评并指正．
编者2014年3月

第1章预备知识与误差理论

1.1线性代数的一些基础知识

1.1.1几种常见矩阵及其性质

1.1.2矩阵的特徵值问题与对角化

1.1.3线性空间与内积空间

1.1.4向量範数

1.1.5矩阵範数与矩阵的运算元範数

1.2误差

1.2.1误差的来源与分类

1.2.2误差与有效数字

1.2.3数值运算中的误差估计

1.2.4病态问题与算法稳定性分析

1.2.5避免误差危害与数值计算中算法设计

习题1

第2章解线性方程组的直接法

2.1高斯消去法

2.1.1基本高斯消去法

2.1.2列主元高斯消去法

2.2矩阵三角分解

2.2.1LU分解

2.2.2三对角方程组的追赶法

2.2.3对称矩阵的三角分解

2.2.4平方根法

2.3矩阵条件数与病态方程组

2.3.1病态现象与条件数

2.3.2线性方程组的误差分析

2.3.3病态线性方程组

2.4豪斯霍尔德变换与QR分解

习题2

第3章解线性方程组的叠代法

3.1经典叠代法的基本概念

3.1.1雅可比叠代法

3.1.2高斯赛德尔叠代法

3.1.3逐次超鬆弛叠代法

3.2叠代法的收敛性

3.3共轭梯度法

3.3.1最速下降法

3.3.2共轭梯度法

习题3

第4章非线性方程与方程组的叠代解法

4.1根的搜寻

4.2压缩映像原理与不动点叠代法

4.2.1不动点叠代法的基本思想

4.2.2压缩映像原理

4.2.3不动点叠代法的收敛性

4.3牛顿叠代法及其变形

4.3.1牛顿叠代法及其收敛性

4.3.2牛顿叠代法的修正

4.3.3重根的叠代法

4.4叠代收敛的加速方法

4.4.1埃特金加速收敛方法

4.4.2斯特芬森叠代法

4.5求解非线性方程组的叠代法

4.5.1多变数的不动点叠代法

4.5.2多变数的牛顿叠代法

习题4

第5章矩阵特徵值和特徵向量的叠代算法

5.1幂叠代法

5.1.1幂叠代法原理

5.1.2加速收敛的方法

5.1.3反幂法

5.2QR叠代法

5.2.1QR叠代法的原理

5.2.2黑森伯格矩阵

习题5

第6章插值法

6.1插值问题的提出

6.2多项式插值

6.3拉格朗日插值方法

6.3.1拉格朗日插值

6.3.2插值余项

6.4牛顿插值多项式

6.4.1差商形式的牛顿插值多项式

6.4.2差商的基本性质

6.4.3差分形式的牛顿插值多项式

6.5埃尔米特插值多项式

6.5.1构造基函式方法

6.5.2待定係数法

6.5.3重节点差商法

6.6分段低次插值

6.6.1高次插值多项式的缺陷

6.6.2分段线性插值

6.6.3分段三次埃尔米特插值

6.7三次样条插值

6.7.1三次样条插值问题的基本提法

6.7.2三次样条插值公式

6.7.3误差阶与收敛性

6.8B样条插值

6.8.1B样条函式

6.8.2m次样条函式空间

6.8.3B样条插值

习题6

第7章函式逼近与曲线拟合

7.1正交多项式

7.1.1正交函式族

7.1.2正交多项式的性质

7.1.3勒让德多项式

7.1.4切比雪夫多项式

7.1.5切比雪夫多项式零点插值

7.2最佳平方逼近

7.2.1最佳平方逼近及其误差分析

7.2.2用正交函式族作最佳平方逼近

7.3曲线拟合的最小二乘法

7.3.1最小二乘拟合问题

7.3.2非线性最小二乘拟合的线性化

7.3.3用正交多项式作最小二乘拟合

习题7

第8章数值积分与数值微分

8.1数值积分的基本概念

8.1.1插值型求积公式

8.1.2求积公式的代数精度

8.2牛顿科特斯求积公式

8.2.1牛顿科特斯公式

8.2.2几种常用的牛顿科特斯求积公式

8.3复化求积公式

8.3.1复化梯形求积公式

8.3.2复化辛普森求积公式

8.3.3复化科特斯求积公式

8.4龙贝格积分方法

8.4.1后验误差估计

8.4.2变步长梯形公式

8.4.3理查森外推法

8.4.4龙贝格算法

8.5高斯求积公式

8.5.1高斯型求积公式的建立

8.5.2高斯求积公式的余项

8.5.3高斯勒让德求积公式

8.5.4高斯切比雪夫求积公式

8.6数值微分

8.6.1差商公式及误差分析

8.6.2插值型求导公式

8.6.3三次样条求导

习题8

第9章常微分方程的初值问题

9.1引言

9.2常微分方程初值问题的一般方法

9.2.1单步方法和多步方法

9.2.2显式方法和隐式方法

9.2.3局部截断误差和整体截断误差

9.2.4线性多步法的相容性与收敛性

9.2.5线性多步法的稳定性与绝对稳定域

9.3常微分方程初值问题的高阶单步法

9.3.1泰勒级数法

9.3.2龙格库塔方法

9.4高阶单步方法的性态分析及改进

9.5线性多步法——亚当斯方法和吉尔方法

9.5.1亚当斯巴什福思方法

9.5.2亚当斯莫尔顿方法

9.5.3吉尔方法

9.6一般线性多步方法的构造

9.7一阶常微分方程组

9.8刚性问题

9.8.1隐式龙格库塔方法

9.8.2吉尔方法

习题9

第10章求解微分方程的有限差分法

10.1解两点边值问题的差分方法

10.2在矩形区域上求解椭圆边值问题的差分方法

10.2.1第一类边值条件

10.2.2第二、第三类边值条件

10.3在三角形格线上求解椭圆型方程的有限差分法

10.4椭圆差分方程的性态研究

10.5扩散方程的有限差分法

10.5.1扩散方程的离散

10.5.2古典显格式

10.5.3古典隐格式

10.5.4克兰克尼科尔森格式

10.5.5最高截断误差阶的两层加权平均格式

10.5.6理查森格式

10.6对流方程的差分格式

10.7波动方程的差分离散

习题10

第11章求解微分方程的有限元法简介

11.1变分问题

11.1.1两点边值问题的变分形式

11.1.2泛函和变分

11.1.3两点边值问题的变分形式

11.1.4椭圆型方程的变分形式

11.2泛函的极值问题

11.2.1泛函的极值问题的存在性

11.2.2与椭圆型方程相应的泛函极值问题

11.2.3极值问题与变分问题之间的联繫

11.3变分和泛函极值问题的近似求解

11.3.1变分和泛函极值问题的进一步讨论

11.3.2里茨法

11.3.3伽辽金法

11.4解椭圆型问题的有限元方法

11.4.1基于变分问题的有限元方法

11.4.2基于泛函极值问题的有限元方法

习题11

习题答案或提示

参考文献