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拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函式转换为一个参数为複数s的函式。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的套用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
基本介绍
- 中文名：拉普拉斯变换
- 外文名：Laplace Transform
- 别称：拉氏变换
- 提出者：拉普拉斯
- 提出时间：约1812年
- 套用学科：数学、工程数学
- 适用领域範围：解微分、积分方程，偏微分方程
- 适用领域範围：信号系统、电子工程、轨道交通、自动化等
公式概念
拉普拉斯变换的公式
拉普拉斯变换是对于t>=0函式值不为零的连续时间函式x(t)通过关係式
(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变数s的函式X(s)。它也是时间函式x(t)的“复频域”表示方式。
电路分析实例
据此，在“电路分析”中，元件的伏安关係可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那幺就可用“分压公式”得出该系统的传递函式为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是回响的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函式H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)
如果定义：f(t)是一个关于t的函式，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变数；
是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。
则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：
。
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换是已知F(s) 求解 f(t) 的过程。用符号
表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0，f(t)= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s)' e'ds，c' 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)' 的个别点的实部值。
意义与作用
为简化计算而建立的实变数函式和复变数函式间的一种函式变换。对一个实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可採用传递函式代替微分方程来描述系统的特性。这就为採用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。用 f(t)表示实变数t的一个函式，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变数s=σ+j&owega；的一个函式，其中σ和&owega; 均为实变数，j2=-1。F(s)和f(t)间的关係由下面定义的积分所确定：
如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛係数。对给定的实变数函式 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函式，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函式，记为f(t)=L-1[F(s)]。
函式变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函式 f(t)和象函式 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在複数域内的运算间的对应关係。表1和表2分别列出了最常用的一些函式变换对和运算变换性质。
拉普拉斯变化的存在性：为使F(s)存在，积分式必须收敛。有如下定理：
如因果函式f(t)满足：（1）在有限区间可积，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t→∞时的极限为0，则对于所有σ大于σ0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。
基本性质
线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理与终值定理。
位移性质：设F(s)=L[f(t)]，则有
它们分别表示时域中的位移定理和复域中的位移定理。
微分性质：
。
发展历史
法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《机率的分析理论》中总结了当时整个机率论的研究，论述了机率在选举、审判调查、气象等方面的套用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的套用。
与傅立叶变换的联繫
对于任何函式
，假定
时
，当
足够大时，函式
的傅立叶变换就有可能存在，即
再根据傅立叶逆变换可得
记
，
，并注意到
，于是我们便可得到
当
，其实就是
的傅立叶变换，因此有时候我们称傅立叶是特殊的拉普拉斯变换。引入 的原因是： 不一定满足傅立叶变换的狄里赫利条件，而
在 足够大时可以满足傅立叶变换的条件。 的拉普拉斯变换本质是 的傅立叶变换，对于 而言，这种变换改变傅立叶正变换中的原函式（原函式乘以指数衰减函式项），也改变了傅立叶逆变换的积分因子（ ），这种变换就是 的拉普拉斯变换。应当注意此时的 ，它的讨论範围就不再单单是频率
而是一个複数(包含频率 )的
。
套用领域定理
有些情形下一个实变数函式在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可採用传递函式代替常係数微分方程来描述系统的特性。这就为採用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
套用拉普拉斯变换解常变数齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；线上性系统，控制自动化上都有广泛的套用。