机率密度函式

定义

对于一维实随机变数X，设它的累积分布函式是

,如果存在可测函式

满足：

,那幺X是一个连续型随机变数，并且

是它的机率密度函式。

连续型随机变数的机率密度函式有如下性质：

如果机率密度函式fX(x)在一点x上连续，那幺累积分布函式可导，并且它的导数：

由于随机变数X的取值只取决于机率密度函式的积分，所以机率密度函式在个别点上的取值并不会影响随机变数的表现。更準确来说，如果一个函式和X的机率密度函式取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那幺这个函式也可以是X的机率密度函式。

连续型的随机变数取值在任意一点的机率都是0。作为推论，连续型随机变数在区间上取值的机率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，机率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

这里指的是一维连续随机变数，多维连续变数也类似。

随机数据的机率密度函式：表示瞬时幅值落在某指定範围内的机率，因此是幅值的函式。它随所取範围的幅值而变化。

密度函式f(x) 具有下列性质：

①

；

②

；

③

最简单的机率密度函式是均匀分布的密度函式。对于一个取值在区间[a,b]上的均匀分布函式

，它的机率密度函式：

也就是说，当x不在区间[a,b]上的时候，函式值等于0；而在区间[a,b]上的时候，函式值等于这个函式

。这个函式并不是完全的连续函式，但是是可积函式。

常态分配是重要的机率分布。它的机率密度函式是：

随着参数μ和σ变化，机率分布也产生变化。

对机率密度函式作傅立叶变换可得特徵函式。

特徵函式与机率密度函式有一对一的关係。因此知道一个分布的特徵函式就等同于知道一个分布的机率密度函式。

随机变数X的n阶矩是X的n次方的数学期望，即

X的方差为

更广泛的说，设g为一个有界连续函式，那幺随机变数g(X)的数学期望为：