比如：2^2-1^2=3,3就是智慧数。

形如2k+1或4k的形式必为智慧数，智慧数的形式必为2k+1或4k的形式，k≥0。

以下给予推导证明：

令P=a^2 -b^2（P、a、b均为正整数）

1、若a=2m（m≥1），b=2n（n≥1）

则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此时P为4k形式。

2、若a=2m（m≥1），b=2n+1（n≥0）

则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此时P为4k -1形式。

3、若a=2m+1（m≥1），b=2n（n≥1）

则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此时P为4k+1形式。

4、若a=2m+1（m≥1），b=2n+1（n≥0）

则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此时P为4k形式。

又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇数，即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1

故P为2k+1或4k的形式，即智慧数为2k+1或4k的形式

又2k+1=（k+1）^2 –k^2，

4k=（k+1）^2 –(k-1)^2

故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。

5.验证2687是否为智慧数

∵2687为奇数∴设2687=2k+1（k为正整数）

∴k=1343∴2687=1344²-1343²∴2687是智慧数

正整数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，第3个智慧数是7，依次是3，5， 7， 8; 9, 11, 12; 13, 15, 16; 17, 19, 20······ 即按一个4的倍数，2个奇数，三个一组地依次排列下去。

像5^2-3^2=16,16就是智慧数。

非智慧数：N/4+2

智慧数：N-(N/4+2)

第2012个智慧数

2012-1=2011

2011÷3=670……1

670+1=671

671*4=2684

2684+1=2685