读书笔记摘抄新闻资讯最近公共祖先
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。
基本介绍
- 中文名：最近公共祖先
- 外文名：Lowest Common Ancestors
- 简称：LCA
- 算法：离线算法，倍增法
算法简介
另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。
这里给出一个LCA的例子：
对于T=<V,E>
V={1,2,3,4,5}
E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}
则有：
LCA(T,5,2)=1
LCA(T,3,4)=3
LCA(T,4,5)=3
算法
离线算法 Tarjan
利用并查集优越的时空複杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。
Tarjan算法基于深度优先搜寻的框架，对于新搜寻到 的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜寻，每搜寻完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合併，并将当前结点设为这个集合的祖先。
之后继续搜寻下一棵子树，直到当前结点的所 有子树搜寻完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于 进行的是深度优先搜寻，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜寻过了，那幺这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。
下面给出这个算法的伪代码描述：
LCA(u){Make-Set(u)ancestor[Find-Set(u)]=u对于u的每一个孩子v{LCA(v)Union(u)ancestor[Find-Set(u)]=u}checked[u]=true对于每个(u,v)属于P{ifchecked[v]=truethen回答u和v的最近公共祖先为ancestor[Find-Set(v)]}}由于是基于深度优先搜寻的算法，只要调用LCA(root[T])就可以回答所有的提问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问(u,v)构成集合P。
线上算法 倍增法
每次询问O(logN)
d[i] 表示 i节点的深度， p[i,,j] 表示 i 的 2^j 倍祖先
那幺就有一个递推式子 p[i,,j]=p[p[i,,j-1],,j-1]
这样子一个O(NlogN)的预处理求出每个节点的 2^k 的祖先
然后对于每一个询问的点对(a, b)的最近公共祖先就是：
先判断是否 d[a] > d[b] ,如果是的话就交换一下(保证 a 的深度小于 b 方便下面的操作)，然后把b 调到与a 同深度, 同深度以后再把a, b 同时往上调(dec(j)) 调到有一个最小的j 满足p[a,,j]!=p[b,,j] (a b 是在不断更新的), 最后再把 a, b 往上调 (a=p[a,0], b=p[b,0]) 一个一个向上调直到a = b, 这时 a or b 就是他们的最近公共祖先。
算法实例
问题描述：
设计一个算法，对于给定的树中 结点返回它们的最近公共祖先。
编程任务：
对于给定的树和树中结点对，计算结点对的最近公共祖先。
数据输入：
由档案input.txt给出输入数据。
第一行有1个正整数n，表示给定的树有n个顶点，编0号为1，2，…，n。编号为1 的顶点是树根。接下来的n 行中，第i+1 行描述与i 个顶点相关联的子结点的信息。每行的第一个正整数k表示该顶点的儿子结点数。其后k个数中，每1 个数表示1 个儿子结点的编号。当k=0 时表示相应的结点是叶结点。档案的第n+2 行是1 个正整数m，表示要计算最近公共祖先的m个结点对。接下来的m行，每行2 个正整数，是要计算最近公共祖先的结点编号。
结果输出:
将编程计算出的m个结点对的最近公共祖先结点编号输出到档案output.txt。每行3 个
正整数，前2 个是结点对编号，第3 个是它们的最近公共祖先结点编号。
输入档案示例(input.txt)
12
3 2 3 4
2 5 6
0
0
2 7 8
2 9 10
0
0
0
2 11 12
0
0
5
3 11
7 12
4 8
9 12
8 10
输出档案示例(output.txt)
3 11 1
7 12 2
4 8 1
9 12 6
8 10 2
C代码实现：#include<iostream>#include<fstream>using namespace std;inline void Swap(int&a,int&b){ int temp=a; a=b; b=temp;}int Partition(int *a,int p,int r){ int i=p; int j=r+1; int x=a[p]; while(true){ while(a[++i]<x&&i<r); while(a[--j]>x); if(i>=j) break; Swap(a[i],a[j]); } a[p]=a[j]; a[j]=x; return j;}void QuickSort(int *a,int p,int r){ if(p<r){ int q=Partition(a,p,r); QuickSort(a,p,q-1); QuickSort(a,q+1,r); }}int FindSource(int *array,int source,int low,int high){ int mid; while(low<=high){ mid=(low+high)/2; if(source==array[mid]) return source; else{ if(source<array[mid]) high=mid-1; else low=mid+1; } } return -1;}class CommonTree{ public: CommonTree(int Max=10); ~CommonTree(); void getdata(int *treedata,int num); int find_same_ancestor(int Node1,int Node2,int array_num); void getroot(int i); int Size(); void Print() const; private: int *TreeArray; int size; int root;};/CommonTree::CommonTree(int Max){ size=Max; TreeArray=newint[size]; if (TreeArray==NULL) exit(1);}CommonTree::~CommonTree(){ delete[]TreeArray;}voidCommonTree::getdata(int*treedata,intnum){ int *p_temp=TreeArray; TreeArray=treedata; treedata=p_temp; size=num; delete[]treedata; treedata=NULL;}int CommonTree::find_same_ancestor(int Node1,int Node2,int array_num){ int *array_Node1=newint[array_num]; int *array_Node2=newint[array_num]; if(array_Node1==NULL&&array_Node2==NULL) exit(1); int x=Node1,array_Node1_num=0; array_Node1[0]=x; while(x!=root){ x=TreeArray[x]; array_Node1_num++; array_Node1[array_Node1_num]=x; } x=Node2; int array_Node2_num=0; array_Node2[0]=x; while(x!=root){ x=TreeArray[x]; array_Node2_num++; array_Node2[array_Node2_num]=x; } QuickSort (array_Node2,0,array_Node2_num); int result=0; for(inti=0;i<=array_Node1_num;i++){ result=FindSource(array_Node2,array_Node1[i],0,array_Node2_num); if(result!=-1) break; } delete[]array_Node1; delete[]array_Node2; return result;}inline int CommonTree::Size(){ return size;}inline void CommonTree::getroot(int i){ root=i;}void CommonTree::Print()const{ for(inti=1;i<size;i++) cout<<this->TreeArray[i]<<""; cout<<endl; cout<<root<<endl;}int main(){ ifstreamin("input.txt"); if( in.fail()){ cout<<"inputerror!"<<endl; exit(1); } ofstreamout("output.txt"); int NodeNum; in>>NodeNum; int *AncestorTree=newint[NodeNum+1]; if(AncestorTree==NULL) exit(1); memset(AncestorTree,0,sizeof(int)*(NodeNum+1)); int father=1; for(intj=0;j<NodeNum;j++){ int lop; in>>lop; for(inti=0;i<lop;i++){ int temp; in>>temp; AncestorTree[temp]=father; } father++; } for(j=1;j<=NodeNum;j++){ if (AncestorTree[j]==0){ AncestorTree[j]=j; break; } } int find_num; in>>find_num; int *result=newint[3*find_num]; if(result==NULL) exit(1); for(inti=0;i<2*find_num;i++) in>>result[i]; CommonTreemain_tree(10); main_tree.getdata(AncestorTree,NodeNum+1); main_tree.getroot(j); int displace=0; for(i=0;i<find_num;i++){ result[2*find_num+i]=main_tree.find_same_ancestor(result[displace],result[displace+1],NodeNum); displace+=2; } displace=0; for(i=0;i<find_num;i++){ out<<result[displace]<<""<<result[displace+1]<<""<<result[2*find_num+i]; displace+=2; out<<endl; } delete[]result; return 0;}C++代码实现：#include<iostream>#include<stdio.h>#include<memory.h>using namespace std;#definemax_size 1010int d[max_size],p[max_size][10];int head[max_size];int cnt;structEdge{ int v; int pre;}eg[max_size];//建树的函式void add(int x,int y){ eg[cnt].v=y; eg[cnt].pre=head[x]; head[x]=cnt++;}//dfs()初始整颗数，算出d[1-n],p[1-n][j];void dfs(intk){ if (head[k]==0) return; int m,x,i,j; for(i=head[k];i!=0;i=eg[i].pre){ x=eg[i].v; p[x][0]=k; m=k; d[x]=d[k]+1; for(j=0;p[m][j]!=0;j++){ p[x][j+1]=p[m][j];//利用公式p[x][j]=p[p[x][j-1]][j-1],这里的m就是p[x][j-1]; m=p[m][j]; } dfs(x); }}int find_lca(int x,int y){ int m,k; if (x==y) return x; if(d[x]<d[y]){m=x;x=y;y=m;} m=d[x]-d[y]; k=0; while(m){//将x的深度调到和y的深度一样 if(m&1) x=p[x][k]; m>>=1; k++; } if (x==y)return x; k=0;//向上调节，找最近公共祖先，算法的核心，相当于一个二分查找。 while(x!=y){ if (p[x][k]!=p[y][k]||p[x][k]==p[y][k]&&k==0){//如果p[x][k]还不相等，说明节点p[x][k]还在所求点的下面，所以继续向上调节;如果相等了，并且就是他们父节点，则那个节点一定就是所求点。 x=p[x][k]; y=p[y][k]; k++; } else k--;//如果p[x][k]=p[y][k],可以说明p[x][k]一定是x和y的共祖先，但不一定是最近的,所以向下找看还有没有更近的公共祖先 } return x;}int main(){ int i,n,m,x,y; while(cin>>n>>m){ memset(head,0,sizeof(head)); memset(p,0,sizeof(p)); memset(d,0,sizeof(d)); cnt=1; for(i=2;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); add(x,i); } dfs(1); for(i=0;i<m;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d/n",find_lca(x,y)); } } return 0;}