费希尔不等式

基本介绍

费希尔不等式在(b，v，r，k，λ)设计中，b≥v。

雷·乔德里(D.K.Ray-Chaudhuri)和威尔森(R.M.Wilson)将这个不等式推广到t设计的情形。他们证明：若2s-(v，k，λ)设计存在，且v≥k+s，则

若

设计存在，且

，则

以上不等式称为推广的费希尔不等式。

为了证明这一结果，需要引入一个很有帮助的概念，这就是区组设计的关联矩阵(incidence matrix)，如果一个设计有变元

，区组

，那幺A是一个由0和1组成的v×b矩阵，其中，如果x_i在B_j中则A的i，j项是1，否则它是0(这就是点集关联矩阵)。

为了证明费希尔不等式，我们先给出以下结果，其证明请参考相应文献。

定理1 在一个(b,v, r, k,λ)设计中有

及

定理2如果A是(b,v, r, k,λ)设计的关联矩阵，那幺

其中A^T是A的转置矩阵，I是v×v的单位矩阵，J是所有项为1的v×v矩阵。

费希尔不等式的证明：

我们假设b<v，并推导出一个矛盾。设A是关联矩阵。

因为b<v,所以我们可以把v-b个0列加到A上，结果给出一个v×v方阵B，现在AA^T= BB^T,因为A的两行的内积等于B的两行的内积。取行列式，我们得出下面的结论:

但是，detB=0，因为B有0列。因此，det(AA^T)=0。现在，根据定理2，有

从等式(4)的右边的矩阵的每一个其他列中减去第一列不改变行列式,因此

在(5)式的右边的矩阵的第一行加上所有其他行不改变这个行列式，因此，有

因为(6)式的右边矩阵的对角线的上方都是0，所以它的行列式等于对角线上元素的积，所以有下面的等式:

因为我们已得出结论

，所以我们有

但是因为r, v和λ都假设是正的，所以有

同样，根据定理1的等式(2)，因为k<v,所以有r>λ，因此有

我们得出结论: (7)式的左边是正的，而这是一个矛盾