法国科学家J.-B.-J.傅立叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函式都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅立叶分析的起源。

由三角函式系{cos nx,sin nx} (n=0,1,2,…)组成的无穷级数 称为三角级数,其中αn,bn为係数，与x无关。若级数(1)对于一切x收敛，它的和记为ƒ(x)：

则ƒ(x)是一个具有周期2π的周期函式。上式两边分别乘以cos nx或sin nx，并且在(0,2π)上同时积分，就得到公式 上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性,应当对级数(1)的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果ƒ(x)是一个给定的以2π为周期的周期函式,通过(3)可以得到一列係数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数(1)。这样得到的三角级数(1)是否表示ƒ(x)？正是傅立叶,他首先认为这样得到的级数(1)可以表示ƒ(x)。

给定ƒ(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为ƒ的傅立叶级数,而称(3)为ƒ的傅立叶係数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函式系。特别,(n=0,±1，±2,…)是[0,2π]上的规範正交函式系，函式ƒ关于它的傅立叶级数为称为ƒ的傅立叶级数的复形式。

傅立叶分析从诞生之日起,就围绕着“ƒ的傅立叶级数究竟是否收敛于 ƒ自身”这样一个中心问题进行研究。当傅立叶提出函式可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函式ƒ(x)的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函式ƒ的傅立叶级数,在它的连续点上必收敛于ƒ(x)；如果ƒ在x点不连续，则级数的和是(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅立叶级数收敛问题的过程中，才提出了函式的正确概念。因为在他的判别法中，函式在一个周期内的分段单调性，可能导致该函式在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函式的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函式。

（G.F.）B.黎曼对傅立叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定ƒ的傅立叶係数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函式》(1854)的论文中，为了使得更广一类函式可以用傅立叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函式ƒ(x)在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时ƒ的傅立叶係数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函式ƒ的傅立叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于ƒ(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函式项级数一致收敛性的概念以后，傅立叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函式ƒ(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常採用的论证方法是不完备的，因为傅立叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函式。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函式用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。

K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函式。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函式只有在少数一些点上才不可求导。

20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅立叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函式的傅立叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函式，帕舍伐尔等式成立；

傅立叶级数,特别是连续函式的傅立叶级数,是否必处处收敛？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函式，它的傅立叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函式的傅立叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅立叶级数的收敛性应持审慎态度。

正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅立叶级数部分和序列的算术平均，在函式的连续点上,必收敛于函式自身。这样,通过新的求和法，又能成功地用傅立叶级数表达连续函式。这无疑是傅立叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。

与此同时，傅立叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L.卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。

傅立叶级数与单位圆内解析函式的理论有着非常密切的联繫。假设(1)是可积函式ƒ的傅立叶级数，简单的计算表明，它是复变数z的幂级数

(5)

的实部。另一方面，级数(5)是单位圆内的解析函式,记为F(z)。这样,傅立叶级数(1)可以通过单位圆内解析函式的理论来研究。这就是傅立叶分析中的複变函数论方法，它是20世纪前半叶研究傅立叶级数的一个重要工具。

进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函式F(z)，这里0<r<1，而p>0。这类函式的全体，称为H空间，它是近代H空间理论的先驱。

通过傅立叶级数刻画函式类是傅立叶分析中的重要课题,着名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函式类l(0,2π)的特徵。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。

设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果ƒ∈l(0,2π)，Cn是ƒ的复傅立叶係数，那幺；

反之，如果{сn}(-∞<n<∞)是满足的複数列,那幺{сn}必为中某函式ƒ的傅立叶係数，且 。

上述豪斯多夫-杨定理的实质，是用傅立叶係数的大小来反映函式所属的空间，但它并没有给出空间L(0，2π)的傅立叶级数特徵。因此，不可能象帕舍伐尔公式那样，用傅立叶係数的大小来刻画l(0，2π)中函式的特徵。考虑函式，1<p<2,但。这样的函式是存在的。假设ƒ0的傅立叶级数的复形式是,那幺可以证明,级数（±号随机地取）不是傅立叶级数,更不可能是L（0, 2π）中函式的傅立叶级数。这说明，不能简单地期望以傅立叶係数的大小来刻画l（p≠2）中函式的特徵。由J.E.李特尔伍德、 R.E.A.C.佩利首创, 后由A.赞格蒙以及J.马钦凯维奇等发展起来的理论，就给出了l(0,2π)空间中函式的傅立叶级数的特徵性质。方法是：把级数进行“二进”分割成如下的序列： ；。 那幺当1<p<∞时,存在绝对常数с1、с2，使得 (6)！！。

20世纪50年代以前的重要工作中，还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代，他们用极大函式研究傅立叶级数，取得了很深刻的结果。极大函式是一种运算元，它的定义是极大函式M (ƒ)(x)比函式自身要大，用它来控制傅立叶分析中某些运算元，可以达到估计其他运算元的目的。

50年代以前，傅立叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。

由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标誌了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当ƒ∈l(Rn)，泊松方程Δu=ƒ的基本解u(x)的二阶导函式,在一定条件下（例如ƒ具有Lip α连续性），可以表成如下的奇异积分

сn为某常数，仅与维数n有关。积分 (8)作为勒贝格积分一般是发散的；注意到Ωj(y)在R的单位球面S上的积分为0，可以证明，积分(8)在柯西主值意义下存在，并且作为x的函式是连续的，从而u(x)是泊松方程的解。

考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分运算元(9)的性质，这里Ω(y) 是具有一定光滑性的零阶齐次函式，且满足条件。他们证明了这种积分运算元具有l有界性(p>1)；利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。

h空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间上的h空间,它们是n=1的推广。当n=1时,h(p>0)空间中的函式在R=(-∞,∞)上的边值函式几乎处处以及在l範数下都存在，施坦、韦斯定义的多维 空间, 显然是一维 h(R崹)空间的推广。人们自然要问,经典的 h(R崹)空间中最基本的性质，例如边值函式的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时，答案是肯定的;例如他们证明,若F∈,p>(n-1)/n，那幺几乎处处以及在L範数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把h空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较複杂,随着指标p的不同,h空间定义的一致性,当时并不清楚。

70年代初，h空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形,证明的充分且必要的条件是,F(x+iy)的实部 u(x,y)的角形极大函式,

稍后,C.费弗曼、施坦又把上述特徵推广到多维中去,并且进一步指出,当0<p<∞时,ƒ(x)作为中某函式的边值函式的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函式φ(x),,使得ƒ关于φ的角形极大函式 ，这样，作为h(R)函式的实变函式论特徵，它完全可以脱离泊松核, 也无需藉助于解析函式或调和函式的概念,而纯粹是实变函式论的一种内在特性的反映，这是出乎人们的想像的。

对于R=(-∞,∞)上定义的非周期可积函式ƒ(x)，傅立叶积分

代替了傅立叶级数(1)，而称为ƒ的傅立叶变换。

傅立叶级数(1) 和傅立叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实,即它们都把函式ƒ分解为许多个分量e(-∞<z<∞)或e(n=0,±1,±2,…)之和。例如对于傅立叶级数(1)，ƒ(x)分解为сne(n=0,±1，±2,…)之和；而傅立叶积分(10)则表明,ƒ(x)可以分解为无穷个 弮(z)e(-∞<z<∞)之“和”。分量的係数сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：

。　(11)

当ƒ为具有2π周期的周期函式时，G=(0，2π)，

，测度 是G=[0,2π]上的勒贝格测度，此时 ,即傅立叶係数(4)；当 ƒ为定义在 (-∞，∞) 上的非周期函式时,x(t)=(-∞<x<∞), 而是(-∞,∞)上的勒贝格测度，公式(11)即为傅立叶变换。

把函式ƒ分解为许多个“特殊”函式{e}之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函式还是非周期函式，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑。傅立叶级数或傅立叶积分的任务,正是研究G上定义的函式ƒ(x)分解为群上许多“特殊”函式（例如e或e）之和的可能性,以及通过傅立叶係数或傅立叶变换来研究ƒ自身的性质。对于一般的拓扑群G,相当于{e}或{e}的“特殊”函式是哪种函式；把这种“特殊”函式x(t)代入公式(11)，又必须确定G上的测度μ，以求出 ƒ的傅立叶变换，这是在群上建立傅立叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群 R=(-∞,∞)，它的 “特殊”函式x(t)=e(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②|x(t)|=1，③x(t)是t的连续函式。用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明 x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 {e}(-∞<x<∞)。对圆周群T而言，T的“特殊”函式全体xn(t)=e(n=0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函式正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是{e|n=0,±1,±2,…}。这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函式的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函式的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函式，尚是一个值得探索的难题。

研究拓扑群上的测度是建立群上傅立叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问,一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否唯一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那幺测度dμ=xdx就是R上的哈尔测度。这是因为，对于任意的,

这说明测度dμ=xdx关于位移是不变的。如果进一步求出群R的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R的一切不可约酉表示就是{x|- ∞<t<∞}。这样,由公式(11),对于群R上的可积函式ƒ(x),ƒ的傅立叶变换。

上式表达的 弮(t)正好又是经典的所谓梅林变换M ƒ(x),是R.H.梅林19世纪末为研究狄利克雷级数的有关性质时引进的。这个特例说明，群上的傅立叶分析，不仅把梅林变换统一到傅立叶变换中来，更重要的是，群论观点的引入，使得隐藏在某些现象背后的内在联繫，被揭示得更清楚更深刻了。

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