若 为 上的一个半环正向系，有半环R，对每个 ，有半环态射 满足：

（1）对 中所有的i≤j 有 ；

（2）若任意半环S和态射集 对于 中所有i ≤j 满足： ，则存在唯一的半环态射η：R →S 对所有的 有 。

称满足以上条件的 是正向极限，记为：lim R_i 。

若 是一个半环正向系，S 是R_i的无交并，在S上定义二元关係 等价于 中存在i , j ≤k 使得a ∈R_i，b∈Rj，μ_ik(a)=μj_k(b)。显然对所有的n≥k 有μ_in(a)=μ_jn(b)。

令 ，半环态射 ，则 是半环正向系 的正向极限。

（1）半环S上的元素a称为加法(乘法)幂等的，如果它满足附加条件 ，半环 S 称为幂等的。

（2）半环 S 称为单半环，若 r ∈S ，a +1 =1；半环 S 称为零和自由的。如果，有r+r'=0，则r+r'=0；半环 S 称为整的，如果，有，则r=0或者r'=0。

（3）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，则 R 是加法(乘法)幂等的若且唯若对是加法(乘法)幂等的.

（4）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，则对中所有i≤j，，若且唯若。

（5）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，且中所有i≤j，，则：

（6）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是单的，则R是单的，如果，那幺反之也成立。

（7）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是环，则R是环。

（8）若 R 是半环正向系的正向极限，其半环态射，若是加法幂等的，，则若且唯若。

（9）设为的推出，则A必是半正环正向系的正向极限，其中。

反向极限(inverse limit)亦称逆向极限或上极限。它是积与拉回概念的推广，也是正向极限的对偶概念，在範畴论、同调代数、代数K理论、代数几何等学科中有重要套用.设矛为一个範畴，了为一个拟序集所成的範畴。省的一个带指标集了的反向系是指一个反变函子F。

设是一个範畴，I,J,L是指标集，集合I与集合J元素之间有关係“≤”。集合I与集合L元素之间有关係“≤”，满足对任意J∈J，存在i∈I，使得i≤j；对任意l∈L，存在i∈I，使得i≤l；对任意i∈I，存在J∈J,l∈L，使得i≤j，i≤l。

且若i≤j，有有确定的；若i≤l，有确定的，称交换图族为广义推出族。

设A是一个範畴，为範畴A中的一个以l为指标集的正向系，若是的广义推出，则称为正向系的正向极限。

正向化限的第二定义与第一定义是等价的。