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开方(数学术语)
开方（英文rooting），指求一个数的方根的运算，为乘方的逆运算（参见“方根”词条）。在中国古代也指求二次及高次方程（包括二项方程）的正根。
基本介绍
- 中文名：开方
- 外文名：rooting
- 解释：一个数的方根的运算
- 类别：数学（代数）
- 适用範围：数理科学
汉语释义
- 数学术语。求方根的运算。对“乘方”而言。
《周髀算经》卷上“勾股圆方图” 汉 赵君卿 注：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也。” - 见方。
《南史·到溉传》：“遭母忧，居丧尽礼。所处庐开方四尺，毁瘠过人。” - 开药方。也说开方子。
《再生缘》第五七回：“从此下官抛弃了，再不去，开方诊脉作医生。”
鲁迅 《自序》：“因为开方的医生是最有名的，以此所用的药引也奇特。”
谢觉哉 《不惑集·》：“﹝我﹞很小就知道中医开方子，允许写白子（即简字或错用字），叫‘药白眼’。” - 求算面积。
《明史·食货志一》：“ 万曆 六年，帝用大学士 张居正 议，天下田亩通行丈量，限三载竣事。用开方法，以径围乘除，畸零截补。于是豪猾不得欺隐，里甲免赔累，而小民无虚粮。”
清 魏源 《圣武记》卷六：“ 利玛窦 、 南怀仁诸地图，开方计里，眉灿星胪。”
清 冯桂芬 《绘地图仪》：“今 江 南州县有鱼鳞册，犹沿其制，惟有明以前，绘图不知计里开方之法，图与地不能密合，无甚足用。”
方根
数a的n（n为自然数）次方根指的是n方幂等于a的数，也就是适合b的n次方=a的数b。例如16的4次方根有2和-2。一个数的2次方根称为平方根；3次方根称为立方根。各次方根统称为方根。求一个指定的数的方根的运算称为开方。一个数有多少个方根，这个问题既与数的所在範围有关，也与方根的次数有关。在实数範围内，任一实数的奇数次方根有且仅有一个，例如8的3次方根为2，-8的 3次方根为-2 ；正实数的偶数次方根是两个互为相反数的数，例如16的4次方根为2和-2；负实数不存在偶数次方根；零的任何次方根都是零。在複数範围内，无论n是奇数或偶数，任一个非零的複数的n次方根都有n个。如果複数
，
，那幺它的n个n次方根是，k=0，1，2…，n-1。
示例图
示例图方法
数字4开方后就是2，2就是它开方的结果
这个用两个相同数字表示一个数的这个数字叫做开方
这个用两个相同数字表示一个数的这个数字叫做开方
4=2x2 四等于二乘二
9=3x3 九等于三乘三
9=3x3 九等于三乘三
16=4x4
25=5x5
36=6x6
49=7x7
64=8x8
64=8x8
81=9x9
100=10x10
2,3,4,5,6,7,8,9,10就是4和9,16,25,36,49,64,81,100开方后的数
2,3,4,5,6,7,8,9,10就是4和9,16,25,36,49,64,81,100开方后的数
关于任意数开任意次方的公式：设被开方数为A，开次方数为B。C为变数
首次C取值为1，带入A,B常量计算结果，并用计算结果值替换公式中的变数 C。再次计算结果，再次替换，当C=公式计算结果值，此时C即为根。循环步骤受开方数字长度影响，此法也可笔算进行。採用的是牛顿叠代法。且 A、B 可为小数，分数，负数，此法为逐次逼近法。可简单的实现编程。但是注意：不能计算负数开偶数次方。
下面为：代入法
1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一节，用撇号分开；
2、根据左边第一节里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；
3、从第一节的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数；
4、用第一个余数除以
，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；
5、设试商为b。如果
小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果大于余数，就把试商逐次减1再试，直到小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。公式：
例如，开立方，A=5，即k=3.公式：
5介于
至
之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
第一步：
。输入值大于输出值，负反馈；
即
，
，
，
，取2位数值,即1.7。
第二步：
.。输入值小于输出值，正反馈；
即
，
，
，
。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：
。输入值大于输出值，负反馈
第四步：
.输入值小于输出值，正反馈；
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。
=1.7099.
电脑程式代码
对于任意实数的开方，可以使用切线法得到其任意精度的结果，切线法的叠代公式为：
取任意初始值
，以上叠代序列将会收敛：
实际套用中一般取初始值为稍微大
的实数，这样可以加快序列的收敛速度。
c语言代码如下：
// 2015-12-24// By: ChenYu#include "math.h"#include "stdio.h"#define ABS(a) ((a)<0?-(a):(a))#ifdef _WIN32 typedef unsigned __int64 uint64;#else typedef unsigned long long uint64;#endif// calculate a approximate valuestatic double calcInitRoot(double x, int n){ const uint64 exptMask=((uint64)1<<11)-1; const uint64 fracMask=((uint64)1<<52)-1; uint64 xInt=*(uint64*)&x; int xExpt=(int)((xInt>>52)&exptMask)-1023; xInt=((uint64)((xExpt+1024*n-1)/n)<<52)+(xInt&fracMask)/n; return *(double*)&xInt;}double calcRoot(double x, int n){ int i, j, s=1-((x<0)<<(n&1)); double a=ABS(x); double x1, x0=calcInitRoot(a, n); double err=x0*1e-14; if(x==0) return 0; for(i=1; i<50; i++) { double xn=1; for(j=0; j<n-1; j++) xn*=x0; x1=((n-1)*x0*xn+a)/(xn*n); // printf("x%d=%.14f\n", i, x1); if(ABS(x1-x0)<=err) break; x0=x1; } return s*x1;}void main(){ double x=-31141.592653589793; int n=11; double y=calcRoot(x, n); printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, y); printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, pow(ABS(x), 1.0/n));}