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一次不定方程
一次不定方程(linear indeterminate equation)亦称线性不定方程，是一类重要的不定方程，指未知数多于一个的一次方程。设a1, a2,...,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2,...,xn(n≥2)的方程a1x1+a2x2+...+anxn= b是n元一次不定方程。方程a1x1+a2x2+...+anxn= b有整数解的充要条件是(a1, a2,...,an)|b。
基本介绍
- 中文名：一次不定方程
- 外文名：linear indeterminate equation
- 别称：线性不定方程
- 所属学科：数学
- 所属问题：初等数论(不定方程)
一次不定方程简介
设a1, a2,...,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2,...,xn(n≥2)的方程
若存在整数
满足方程，则称
是方程的解，或说
是方程的解。
定理1 方程a1x1+a2x2+...+anxn= b有整数解的充要条件是(a1, a2,...,an)|b。
设ai>0(i=1，2，…，s)，(a1，a2，…，as)=1，考虑方程(1')的非负整数解xi≥0(i=1，2，…，s)，存在仅与a1，a2，…，as有关的数Fa1，…，as，当n>Fa1，…，as时，方程(1')有非负整数解。令A(n)为其解数，则
二元一次不定方程及其求解
设a,b,c是整数，形如ax+by=c的方程是二元一次不定方程。
定理2 设a,b,c是整数，方程ax+by=c若有解(x0,y0)，则它的一切解具有
的形式，其中
。
定理1和定理2说明了解二元一次不定方程的歩骤：
(1)判断方程是否有解，即(a，b)|c是否成立；
(2)利用辗转相除法求出x0,y0，使得ax0+by0=(a,b)；
(3)写出方程ax+by=c的解
，其中
。
多元一次不定方程及其求解
定理3 设a1, a2,...,an,b是整数，再设(a1, a2,...,an-1) = dn-1，(a1, a2,...,an)=dn，则
是方程(1)的解的充分必要条件是存在整数t,使得
是方程组
定理3说明了求解n元一次不定方程的方法：先解方程组中的第二个方程，再解方程组中的第一个方程，于是，解n元一次不定方程就化为解n-1元一次不定方程，重複这个过)程，最终归结为求解二元一次不定方程。
记(a1, a2) = d2，(d2,a3) = d3,...,(dn-2,an-1) =dn-1，(dn-1,an) = dn。
逐个地解方程
