对于定义在区间[-1，1]上的具有二阶连续导数的函式f(x)，当它与P，(z)具有相同的边界条件时，可按P_l(x)展为绝对且一致收敛的级数，

称之为广义傅立叶级数。{P_l(x)}可以看作广义傅立叶级数展开的基，这说明勒让德多项式(P_l(x))是完备的。

在式(1)两端乘以P_k(x)并在区间[-1，1]上积分，利用正交归一性，得

于是，得广义傅立叶係数

如果将变数x换回θ，则式(1)和式(2)变为

【例1】以勒让德多项式为基，在[-1，1]上将函式 展为广义傅立叶级数。

解：这里我们当然可以按照式(1)和式(2)将f(x)展开，但是由于f(x)是比较简单的三次多项式形式，应该可以表示为P₀(x)，P₁(x)，P₂(x)和P₃(x)的线性组合，从而可以利用待定係数法确定广义傅立叶係数，不妨设

比较两端係数，得

于是，

因此，