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无限深方形阱
在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又複杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。
基本介绍
- 中文名：无限深方形阱
- 外文名：Particle in a box
- 领域：量子力学
简介
在经典力学里，套用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的机率是均匀的。
在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，套用薛丁格方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛丁格方程的能量本徵函式，是表达粒子量子态的波函式。每一个能量本徵函式的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量。这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。
在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。
这问题的薛丁格方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答乾净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。
无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：
- 能量量子化：表达粒子量子态的能量本徵函式，其伴随的能量不是任意值，而只能是离散能级谱中的一个能级。
- 零点能量：粒子最小的允许能级，称为零点能量，不是 0 。
- 波节点： 恰恰与经典力学相反，薛丁格方程预测会有波节的存在。这意味着在阱内某些地方，找到粒子的机率是零。
不论这问题有多幺地简单，由于能够完全地解析其薛丁格方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。
一维阱
一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为L。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（x方向）。一维无限深方形阱的本徵函式
与本徵值
分别为
导引
一维不含时薛丁格方程可以表达为
在阱内，位势V(x)=0。一维不含时薛丁格方程约化为
这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本徵函式与本徵值E是
为了求得一般解的常数A，B，与波数k的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的机率
越小。在x=0 ，x=L两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的机率是微乎其微：
。所以，边界条件是
在x=L，可以得到
注意到n=0状况必须被排除，因为，不能容许波函式是的物理答案：粒子不在阱内。
为了求得A值，波函式需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：
常数A的值为
常数A可以是任何複数，只要绝对值等于{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{L}}}}；可是，这些不同值的A都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择{\displaystyle A={\sqrt {\frac {2}{L}}}}。
最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本徵方程与能量本徵值（能级）是
如同前面所述，此问题只容许量子化的能级。由于
，最低的能级，称为零点能量，大于 0 。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域，位置变异数有上界。所以，粒子的动量的变异数大于 0 ，粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。
很重要的一点是，虽然表达粒子量子态的能量本徵函式，其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量，只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理，粒子的量子态，可以是几个能量本徵函式的叠加。当测量粒子的能量时，测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函式坍缩，不能对同一个粒子做多次的测量，而指望得到有意义的答案。必须假设準备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子，做同样的测量。虽然，每一次的测量的答案，只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。
启发导引
能量本徵值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函式的波节。这意味着，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：
套用德布罗意假说，粒子的动量p是
二维阱
一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在x与y方向，分别为
，
。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（x与y方向）。二维无限深方形阱的本徵函式
与本徵值
分别为
参阅
- 态叠加原理
- 自由粒子
- 有限深方形阱
- 有限位势垒
- 球对称位势
- Delta 位势阱
- Delta 位势垒
- 量子隧穿效应
- 盒中气体