全体调和函式的总体，是拉普拉斯方程

的所有解的总体，这方程是最简单的二阶偏微分方程之一.类似于常微分方程情形，为了可以区分出一个确定的解而给出了附加的条件.完全一样，为了要完全确定拉普拉斯方程的一个解，也需要一些附加的条件.对于拉普拉斯方程的这些条件，通常表述成称之谓边值条件的形状，即，表述成所求解在区域的边界上所应当满足的一些给定关係式的形状.这样的边值条件，可以由所给问题的解的那些物理条件本身，自然地得到。

这类条件中最简单的那一种，归结为在区域的边界的每一点上给定所求的调和函式的值。由此，产生了所谓第一边值问题，或者，狄利克雷问题：

求出一个在区域D内调和并且在内连续的函式u(z)，使它在D的边界上取已经给定的连续值u(ξ)。

例如，在某一区域内求热场的温度或静电场的势能，当在这区域的边界上的温度或势能已经知道时，便可化为狄利克雷问题。

在套用中，边界值u(ξ)是连续的这个条件，是限制过严了，所以需要考虑广义狄利克雷问题：

设已经在区域D的边界C上给出了一个函式u(ξ)，它出了在有限多个点ξ1，ξ2，…，ξn处有第一类间断点外，是处处连续的。要求找出一个在区域D内的有界调和函式u(z)，使它在函式u(ξ)的所有连续点处都取值u(ξ)**。

求二阶椭圆型方程在区域边界上的值为已知的解。设区域的边界为。求在上连续、在内满足给定的椭圆型方程、在上取给定的连续边界值的解的问题，称为椭圆型方程的狄利克雷问题。

特别地，对有界区域，如果边界点都是正则点（参见“闸函式”），调和方程△u=0的狄利克雷问题的解存在且位移。

对于一般的强椭圆型方程

如果c(x)≤0，f 及 L 的係数有界并属于C^α(Ω)。假设有界的每一边界点上满足外部球条件；即对每一点，存在一个球B=B_R(y)满足。如果φ在上连续，那幺狄利克雷问题：在中Lu=f，在上u=φ就有惟一解。