读书笔记摘抄新闻资讯盖尔曼矩阵
盖尔曼矩阵（Gell-Mann matrices）是八个线性独立且无迹的埃尔米特矩阵，是SU(3)群的李代数的一种基表示，以物理学家默里·盖尔曼命名。盖尔曼矩阵是为了分析强相互作用的味对称性而提出的（u，d，s夸克之间的SU(3)对称性），广泛套用于强子分类。而之后物理学家们在分析其他SU(3)对称性时都会选取这种表示（比如色的SU(3)对称性）。
基本介绍
- 中文名：盖尔曼矩阵
- 外文名：Gell-Mann matrices
定义
物理学中常用另一种形式的盖尔曼矩阵
。
性质
盖尔曼矩阵是无迹的埃尔米特矩阵（故可以通过指数运算生成幺正矩阵），并满足迹正交关係。这些性质是由盖尔曼选定的，因为这样自然地把SU(2)的泡利矩阵推广到SU(3)，构成了盖尔曼夸克模型的基础。盖尔曼的推广还可进一步扩展到一般的SU(n)上。
迹正交性
有三个独立的SU(2)子代数：
，
与
。其中
与
都是
的线性组合。这些子代数的任意幺正相似变换仍然是SU(2)子代数。
这样的好处是以
作坐标轴画权图时，两坐标轴是垂直的。在这样定义下基础表示与其共轭表示的权图是关于
轴对称的正三角形，见下图
对易关係
盖尔曼矩阵满足对易关係
完备性关係
八个盖尔曼矩阵与单位矩阵一起构成了完备的迹正交集，能生成所有的3×3矩阵。因此可以直接找到两个完备性关係，就像泡利矩阵所满足的那样。第
个盖尔曼矩阵的第
行第
列的元素记做
，并记
则以下恆等式成立
表示论
SU(3)中的任何元素都可以写成
的形式，其中
是八个实数，并使用爱因斯坦求和约定。
盖尔曼矩阵的平方和给出了二次卡西米尔运算元
套用
盖尔曼矩阵在强子分类中有重大意义。
为u，d夸克SU(2)同位旋空间的第三分量，可以表达为：
由
与
表示的直积化直和，生成伴随表示8，就可以给出对轻夸克组成的介子的8重态分类，具体见下图
在量子色动力学中，盖尔曼矩阵可用来研究胶子场的“色”旋转。规範色旋转可表示为
