日高公式

公式记载

根据《周髀算经》，周公测日的方法大致是这样的：先后两次测量同一圭表在不同处的日影长，然后用下面公式算出日高：

日高= (表高×表距)/影差+表高.

在平地上立两表(表就是“桿”的意思)，高度相等(或一个表用两次也可)，设为h。两表一前一后，距离为s，且与目标(此处是太阳) 在同一平面内。前面的表(即离目标近的表) 的影子长度为a，后面的影子长度为b。

日高公式怎幺来的? 《周髀算经》没有说.赵爽为《周髀算经》作注时，画了一幅“日高图”并附有图说，实际是对日高公式的证明。赵爽原图已佚失，根据残存但是原始的信息，利用《九章算术》中经常出现的“出人相补”原理，吴元俊复原了赵爽的“日高图”，并补出了日高公式的证明。

其中三角形△ABI 全等于△AJI，△ACG 全等于△AQG，而△FGI 全等于△GRI。根据“出人相补”原理，应有

△AJI 的面积一(△AQG 的面积十△GRI 的面积)

=△ABI 的面积一(△ACG 的而积十△FGI 的面积)

即

JG=

GB，这里

JG 表示以J 和G 为顶点的矩形的面积，

GB 类似地定义。同理，

KE=

EB，相减可得

JG－

KE=

GD，即：(FI－DH)×AC=ED×DF，亦即

影差× (日高－表高)=表高×表距。

这就得到了日高公式。

日高公式可用来测天，也可藉以量地。比赵爽稍晚的魏晋数学家刘徽就写了一部叫《海岛算经》的着作，套用勾股定理解决各种测量问题，其中第一个问题是测量海岛的高度(图3)，刘徽给出了着名的海岛公式（显然，将《周髀算经》中的日高公式改日高为岛高，就是海岛公式）：

岛高=(表高×表距)/ 表目距的差+ 表高。