【拼音】zhòng chà

【注音】ㄓㄨㄙˋ ㄔㄚˋ

【条目】重差

【引证解释】

汉 代天文学家测量太阳高、远的方法。 魏 晋 时 刘徽 着文讲述这一方法，也以“重差”作篇名，附于所注《九章算术》后。 唐代刘徽着述的《重差》改名为《海岛算经》。《周礼·地官·保氏》“六曰九数” 郑玄 注引 汉 郑司农 曰：“今有重差，夕桀、句股也。” 孙诒让 正义：“ 孔广森 云：‘重差者，重两句股，取其影差，异乘同除，此知比例，若 刘徽 《海岛经》是也。’…… 张文虎 云：‘重差者，重叠测望而知其差也。’” 章炳麟 《国故论衡·原名》：“日中视日，财比三寸盂，旦莫乃如径尺铜槃，校以句股重差，近得其真也。”

重差理论起源于《周髀算经》的《日高图》“以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一，所得则变为黄乙之袤，上与日齐。”

刘徽在《九章算术·序》中，进一步发展了重差术：“凡望极高、测绝深，而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之时，以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。”

《海岛算经》共九问。都是用表尺重複从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？ 答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。

《古今图书集成》窥望海岛之图

由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表桿前后测量，表桿与地面垂直，人眼贴地，望表桿顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表桿的水平距离叫“前表却行”DG=123步；再将表桿往后移动，两彪桿间距称为“表间”=1000步，依法测出“后表却行”FH=127步。

表高 =CD, 前表却行=DG 后表却行=FH 相多=FH-DG 表间=DF 岛高=AB 前表去岛远近=BD

依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD

前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)

今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表三相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端三合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端三合。问松高及山去表各几何？ 答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

望松生石上三次测量示意图

CD EF 表示前后两支表桿，前表桿有刻度，用作两次测量，第一次从G点瞄準A、C两点成直线，第二次从G点校準树根J，读出前表桿上度数（入表）。

松高=AJ=CK*DF/(FH-DG+CK)；

前表去山远近=BD=DF*DG/(FH-DG)；

今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅三相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相三合。问邑方及邑去表各几何？ 答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。 术曰：以入索乘后去表，以两表相去除之，所得为景差；以前去表减之，不尽以为法。置后去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置后去表，以景差减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。

南望方邑示意图

由于待测的方城宽度AB，在东西方向，与地面平行，因此两支在C点D点插入地面与地面垂直的表桿，在此不用作直接测量，测量是依靠一根拴在C、D两根垂直表桿中间的一条水平测量绳索CD完成的。此题中一根水平测量绳作两次测量用。

景差 =入表* 后去表/ 表相去。

今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勾端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勾端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？答曰：四十一丈九尺。术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。

山谷深=（距间 × 上股）/（下股-上股）-句高。

今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令句高六尺。从句端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈。更从句端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从句端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？ 答曰：八丈。 术曰：上下股相减，余为法；置矩闲，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而一，即是楼高。

楼高=（距间 * 下股）* （入小表）/句高/（下股-上股）。

今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却后行1去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表三合。问波口广几何？答曰：一里二百步。 术曰：以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减后去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

南望波口示意图

此题中一根水平测量绳，作三次测量用。

今有望清渊，渊下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩于上，其间相去四尺。更从句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？ 答曰：一丈二尺。 术曰：置望水上下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。又术：列望水上下股及望石上下股，相减，余为法。以望石下股减望水下股，余以乘矩间为实，实如法而一，得水深。

望清渊示意图

A标誌水岸，S标誌白石，C标誌岸边；句是古代测量用具之一，有两个边成直角（如今三角板）：使用时句的一边务必与地面垂直。此题用两个句，一个在C，一个在D，各测量水岸和水底白石。此题用四次测望术。

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？ 答曰：二里一百二步。 术曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高减之，余为法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实 如法而一，即得津广。

今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅三相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？ 答曰：南北长一里一百步；东西广一里三十三步、少半步。术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

此题用四次测望术